simpson公式求积分-用simpson公式求积分

1. te的负t次方的积分？
2. 两点式高斯型求积公式？
3. n=12等分的辛普森求积公式？

te的负t次方的积分？

e 的负 t 次方的积分无法直接求出，因为 e 的负 t 次方是一个非指数函数，无法通过基本的积分规则进行求解。

但是，我们可以使用数值积分的方法来近似求解。数值积分是一种数值方法，可以通过对函数进行***样，然后求出每个***样点的函数值与积分的关系，从而近似求出积分的结果。

常用的数值积分方法有梯形公式、辛普森公式等。具体到这个问题，我们可以使用辛普森公式来近似求解 e 的负 t 次方的积分。辛普森公式的表达式为：∫(f(x)dx) = (f(a) + f(b)) / 2 * (b - a)其中，a 和 b 是积分的上下限，f(x) 是待积分的函数。将 e 的负 t 次方代入辛普森公式，我们可以得到：∫(e^(-t) dt) = (e^(-a) + e^(-b)) / 2 * (b - a)其中，a 和 b 是积分的上下限，可以根据实际情况进行选择。

例如，如果我们要求解从 0 到 1 的积分，那么 a=0，b=1。需要注意的是，数值积分方法只能得到近似结果，精度与***样点的数量和***样方法有关。如果需要更高的精度，可以增加***样点的数量或者使用更高级的数值积分方法。

两点式高斯型求积公式？

高斯型求积公式是一种数值积分方法，用于计算函数在某个区间上的积分值。两点式高斯型求积公式是其中一种特定的求积公式，使用两个***样点来近似积分。
在区间上使用两个***样点，可以得到一个二阶精度的求积公式。设定两个***样点为$x_1$和$x_2$，对应的权重为$w_1$和$w_2$。那么函数$f(x)$在区间上的积分值可以近似为：
$$\int_{a}^{b}f(x)dx \***rox w_1f(x_1) + w_2f(x_2)$$
其中$a$和$b$为积分区间的上下界。
两点式高斯型求积公式的具体取值可由数值计算方法得到，常见的两点式高斯型求积公式有梯形公式和辛普森公式。梯形公式使用直线连接两个***样点，辛普森公式则使用二次多项式连接三个***样点，得到更高的精度近似。这两个公式分别为：
梯形公式：
$$\int_{a}^{b}f(x)dx \***rox \frac{b-a}{2}(f(a) + f(b))$$
辛普森公式：
$$\int_{a}^{b}f(x)dx \***rox \frac{b-a}{6}(f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b))$$
需要注意的是，这里的公式只是使用了两个***样点进行近似，因此精度相对较低，而且对于某些函数可能不准确。为了提高积分精度，可以***用更多的***样点和更高阶的高斯型求积公式。

高斯求积公式是变步长数值积分的一种，基本形式是计算[-1,1]上的定积分。下面说明一下思想（仅仅是说明，而非证明）： ***设现在要求f(x)在[-1,1]上的积分值，只允许计算一次f(x)的值，你会怎么做呢？

显然我们会选取一点x0,计算出f(x0),然后用A=f(x0)*2作为近似值。现在问题是怎样选取x0，使得结果尽可能精确呢？

直觉告诉我们选取区间中点最合适，这也就是所谓的中点公式，也就是1点高斯求积公式。

如果选取个点作为计算节点，同样可以按公式：A=k1*f(x1)+k2*f(x2)+...+kn*f(xn)来计算近似值，关键就是如何确定节点xi和系数ki（i=1,2,3,...,n) 理论证明对于n个节点的上述求积公式，最高有2n-1次的代数精度，高斯公式就是使得上述公式具有2n-1次代数精度的积分公式。至于如何确定公式中的节点和系数，最常见的是利用勒让德多项式，具体的这里不方便说，你查查相关资料吧。

n=12等分的辛普森求积公式？

牛顿-科特斯公式

科特斯(Cotes)系数

特点：Cotes 系数仅取决于 n 和 i，可通过查表得到。与被积函数 f (x) 及积分区间 [a, b] 均无关。

n = 1: 为梯形求积公式

梯形求积公式的几何意义：用梯形面积近似代替曲边梯形的面积。梯形公式的余项为 代数精度 = 1

n = 2:

simpson求积公式（为抛物线求积公式）

辛普森公式的余项为 代数精度 = 3

n = 4: 科特斯(Cotes)求积公式（五点公式）

柯特斯公式的余项为 柯特斯公式具有5次代数精度

科特斯系数具有以下特点：

(1) 当 n ? 8 时，出现负数，稳定性得不到保证。而且当 n 较大时，由于Runge现象，收敛性也无法保证。一般不***用高阶的牛顿-科特斯求积公式。

当 n ? 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。

当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n+1 阶代数精度。

牛顿-柯特斯公式的舍入误差只是函数值误差的

复化求积公式特点

直接使用牛顿-柯特斯公式余项将会较大当n>8时，公式的舍入误差又很难得到控制此时，使用复化方法，然后在每个小区间上使用低阶牛顿-柯特斯公式，最后将每个小区间上的积分的近似值相加，这种方法称为复化求积法

复化梯形公式余项为 误差是阶 即复化梯形公式是收敛的

误差是h4阶， 复化辛普森公式是收敛的时，复化柯特斯公式也是收敛的三种复化公式的的余项

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