simpson求积公式推导-simpson公式求积分

1. simpson求积公式共有几次精度？
2. 0到2sinx的n次方的积分？

simpson求积公式共有几次精度？

有三次精度

比如你的积分区间是[-1，1]，插值型积分公式自然对二次以下的多项式严格成立。考虑三次函数f(x)＝x^3，显然它是奇函数，积分是0，而代入Simpson公式也是0，所以有3次代数精度。

这种看法对偶数阶Newton-Cotes公式都是的。

至于证明中用到的中点导数值，我认为只是基于它三次代数精度的一个巧妙的构造。况且误差估计证明方法也不唯一。事实上，对一般的Newton-Cotes公式的误差估计的证明并未用到类似的构造。

0到2sinx的n次方的积分？

应该是∫π/2--2π+π/2 sin^nt dt

因为dt=d(t=x+π/2)=dx(有些和导数一致)

积分变量从X变为T时,积分范围也有所变化,对于T则为π/2--2π+π/2.

要计算函数0到2sin(x)的n次方的积分，我们可以使用积分部分和法。

积分部分和法（Integral by Parts Method）是一种通过重复使用积分公式来求解积分的方法，其中一个积分项被选择为“u”部分，而另一个积分项被选择为“dv”部分。

在这个问题中，我们可以将整个函数2sin(x)^n视为一个乘积：u = 2sin(x)^n，dv = 1 dx。根据积分部分和法，我们有以下公式：

∫u dv = u v - ∫v du

应用该公式，我们可以计算该函数的积分：

令 u = 2sin(x)^n，dv = 1 dx

则 du = 2nsin(x)^(n-1)cos(x) dx，v = x

根据积分部分和法，我们有：

∫u dv = uv - ∫v du

= 2sin(x)^n * x - ∫x * 2nsin(x)^(n-1)cos(x) dx

然后，我们继续应用积分部分和法，将∫x * 2nsin(x)^(n-1)cos(x) dx进行拆解，依次计算，直到积分项不再具有一个可积函数的形式。最终，我们可以得到一个形式简化的结果。

需要注意的是，对于高阶的幂函数和三角函数的积分，结果可能会变得相当复杂。在实际计算时，可能需要使用数值积分方法或计算工具来求解。

结论是:n为奇数时，0~2Ω的sinx的n次方的积分等同于-Ω~Ω，利用奇函数的积分性质那就是0了; 北辰暖月 幂级数 7 一鱼三吃 偏导数 8 n为偶，0~2Ω那个积分还是等同于-Ω~Ω，但由于sinx的n次方为偶函数,则等同于2倍的0~Ω的积分，又t=Ω,等同于2倍的-Ω/2~Ω/2的积分等同于4倍的0~Ω/2的积分。

首先，我们考虑计算函数 f(x) = 0到2sinx的n次方的积分。

根据积分的定义，我们可以将该积分拆解为若干个小区间上的积分。对于 f(x) = 2sinx的n次方 的积分来说，我们可以***取分部积分法或者换元法来进行计算。

***用分部积分法，我们可以选择 u = 2sinx的n次方 和 dv = dx。那么，我们可以得到 du = n(2sinx)的n-1次方 ·2cosxdx 和 v = x。

应用分部积分公式 ∫u·dv = uv - ∫v·du，我们有：

∫(2sinx)的n次方 dx = x·(2sinx)的n次方 - ∫x·n(2sinx)的n-1次方 ·2cosxdx

接下来，我们需要计算右边积分中的 x·n(2sinx)的n-1次方 ·2cosxdx。为了简化计算，我们可以再次***用分部积分法，此时令 u = x 和 dv = n(2sinx)的n-1次方 ·2cosxdx。

同样地，我们可以得到 du = dx 和 v = -n(2sinx)的n次方 。

应用分部积分公式，我们有：

∫x·n(2sinx)的n-1次方 ·2cosxdx = -x·(2sinx)的n次方 - ∫(-n(2sinx)的n次方 )dx

请注意，在计算右边的积分时，我们重新应用了分部积分，并且对 u 和 v 做了调换。

综上所述，我们可以将原始积分表示为：

∫(2sinx)的n次方 dx = x·(2sinx)的n次方 + n∫(2sinx)的n次方 dx - ∫(-n(2sinx)的n次方 )dx

然后，我们可以通过求解这个方程来计算积分。

但是，考虑到这是一个相对复杂的问题，我们可以尝试通过数值积分的方法来近似计算积分值。数值积分方法包括例如梯形法则、辛普森法则等，它们可以提供一个接近准确积分值的近似解。

总结一下，计算函数 f(x) = 0到2sinx的n次方的积分可以***用分部积分法或者数值积分方法，具体的计算过程可能相当复杂和繁琐。因此，如果您只需要获得一个近似的积分值，那么数值积分方法是一个更为可行和高效的选项。

如果您对数值积分方法有兴趣，我可以提供更详细的解释和算法示例供您参考。

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